Università degli Studi Guglielmo Marconi

Insegnamento
Matematica III
Docente
Prof. Rinaldi Fabio
Settore Scientifico Disciplinare
MAT/03
CFU
6
Descrizione dell'insegnamento

Il corso si propone di estendere i metodi e le tecniche del calcolo differenziale ed integrale alle funzioni in più variabili reali, anche in vista delle applicazioni delle tecniche analitiche ad altri settori della matematica come pure ad altre discipline scientifiche. Iniziando dallo spazio lineare normato Rn si passa allo studio delle funzioni implicite ed estremi vincolati e in seguito agli integrali delle funzioni a più variabili, di curva e di superficie. Infine si studieranno i campi conservativi e le forme differenziali esatte.

Obiettivi formativi (espressi come risultati di apprendimento attesi)
Il corso di Matematica III fornisce sia gli elementi teorici che quelli pratici essenziali che consentono agli studenti di ampliare e rafforzare il bagaglio teorico-pratico acquisito con i corsi di Matematica I e II.
L’obiettivo principale dell’insegnamento consiste quindi nel fornire agli studenti gli strumenti tali ad affrontare al meglio lo studio degli integrali multidimensionali, quelli di superficie e di linea, mediante tutte le tecniche a disposizione, per poi approdare alle applicazioni Fisico-Matematiche.
Le principali conoscenze (Descrittore di Dublino 1) acquisite riguardano come prima cosa la comprensione dei problemi che il corso presenta di volta in volta, ovvero l’ampliamento sostanziale delle competenze acquisite nei corsi di Matematica I e II, o in generale dall’analisi matematica. Saper poi discernere la tecnica migliore e più rapida per giungere alla soluzione dei problemi derivanti soprattutto dalla Fisica Teorica, e in modo particolare dall’elettromagnetismo.
Il calcolo Integrale di diverso tipo e natura ricopre parte principale insieme alle forme differenziali dell’intero corso.
Le principali abilità acquisite, quindi, (capacità di applicare le conoscenze acquisite, Descrittore di Dublino 2) si concretizzano nel fatto che gli studenti saranno in grado di mettere in pratica le conoscenze teoriche al fine di risolvere problemi pratici, cosa di centrale importanza per ogni Ingegnere, ovvero saper valutare un problema, individuando in tempo breve la sua migliore tecnica risolutiva, capacità di analisi e sintesi mediante il metodo scientifico.
Al termine del corso gli studenti saranno altresì in grado di valutare il proprio livello di preparazione in piena autonomia, e in qualche maniera saranno capaci di trovare soluzioni alternative ai vari problemi che di volta in volta dovranno affrontare (Dublino 3), anche mediante una acquisita proprietà di linguaggio tecnico teorico che il corso stesso richiede (Dublino 4).
Prerequisiti

Per affrontare il corso di Matematica III è necessario aver sostenuto con successo l’esame di Matematica I e Matematica II.

Contenuti dell'insegnamento
  • Integrali curvilinei e forme differenziali nel piano: Curve regolari, lunghezza di una curva, curve orientate, ascissa curvilinea, integrale curvilineo di una funzione, integrale curvilineo di una forma differenziale, forme differenziali esatte, forme differenziali chiuse.
  • Integrali doppi e tripli: integrali su domini normali, formule di riduzione per gli integrali doppi, formule di Gauss-Green, teorema della divergenza, formula di Stokes, cambiamento di variabile negli integrali doppi, integrali tripli.
  • Superfici e integrali di superficie: superfici regolari, piano tangente e versore normale, area di una superficie, integrali di superficie, teorema della divergenza e la formula di Stokes.
  • Funzioni Implicite: introduzione alle funzioni implicite, il teorema di Dini per funzioni implicite di una variabile, conseguenze del teorema di Dini, il teorema di Dini per funzioni di due o più variabili, il teorema di Dini per i sistemi, invertibilità locale e globale, massimi e minimi vincolati in due dimensioni, moltiplicatori di Lagrange, massimi e minimi vincolati in due dimensioni e moltiplicatori di Lagrange in tre o più dimensioni.
Attività didattiche
Le attività didattiche si articolano in didattica erogativa e didattica interattiva.
Per quanto riguarda la didattica erogativa, l'insegnamento prevede, per ciascun CFU, 5 ore di Didattica Erogativa, costituite da 2,5 videolezioni (tenendo conto delle necessità di riascolto da parte dello studente). Ciascuna videolezione esplicita i propri obiettivi e argomenti, ed è corredata da materiale testuale in formato .pdf. Le videolezioni riguardano in particolare sia argomenti di teoria sia numerose applicazioni pratiche. Queste ultime, mediante le apposite video esercitazioni fornite, consentono allo studente di ampliare e testare il proprio bagaglio teorico-pratico e altresì di aumentare la capacità di misurare le competenze acquisite, cosa che è fondamentale per chi studia Ingegneria.
E’ di centrale importanza per lo studente migliorare la capacità di analisi e di sintesi che si sviluppa durante il corso, sia mediante la teoria che con la pratica, acquisendo il cosiddetto metodo scientifico.
Per quanto riguarda la didattica interattiva, l’'insegnamento segue quanto previsto dalle Linee Guida di Ateneo sulla Didattica Interattiva e l'interazione didattica, e propone, per ciascun CFU, 1 ora di Didattica Interattiva dedicata alle seguenti attività: lettura area FAQ, partecipazione ad e-tivity strutturata costituita da attività finalizzate alla restituzione di un feedback formativo e interazioni sincrone dedicate a tale restituzione. Sono a tal proposito previste aule virtuali di due ore che consentono una interazione sincrona con lo studente. In particolare, il docente con le aule virtuali potrà rendicontare agli studenti, attraverso gli esami fatti, i test di verifica ed autovalutazione, quali sono i maggiori punti di sofferenza nella loro preparazione, per poter quindi intervenire su specifiche tematiche con ulteriori spiegazioni ed esercizi pratici.
L’Aula virtuale è costruita e pensata in doppia modalità: ovvero in presenza con discussione finale e in streaming per gli studenti collegati in modalità telematica.
Quest’ultima è fatta per venire incontro alle esigenze dello studente, mediante una interazione diretta con lo stesso, tale da poter eliminare i dubbi e le incertezze che si hanno di volta in volta, mediante l’utilizzo di specifiche statistiche che misurano e pesano l’andamento degli studenti agli esami.
Durante le due ore si è in grado di verificare le conoscenze acquisite (Dublino 1), e il grado di applicare queste ai vari problemi che si pongono (Dublino 2), nonché di analizzare e contestualizzare in autonomia la proprietà di linguaggio tecnico scientifico acquisita per decodificare tutte le tematiche che dovranno essere affrontate in sede d’esame (Dublino 3-4).
Infine, mediante l’Aula virtuale si è in grado di misurare la capacità di apprendimento dello studente ponendo specifiche domande atte a misurare proprio tale aspetto (Dublino 5).
Modalità di verifica dell'apprendimento
L’esame si svolge in forma scritta. La prova ha una durata di 120 minuti e, durante lo svolgimento della stessa è consentito esclusivamente l’uso di una calcolatrice non programmabile e del testo della normativa fornita direttamente dalla commissione d’esame.
La prova è costituta fondamentalmente da tre/quattro esercizi sugli argomenti svolti durante il corso.
Ogni esercizio è conforme ai tre descrittori di Dublino. Si richiede agli studenti di individuare la tecnica più corretta allo studio e alla verifica dei Teoremi o Formule di Gauss, Green e Stokes, e le loro possibili applicazioni nel campo della Fisica.
Stesso discorso vale per la parte concernente gli esercizi sulle forme differenziali e sugli Integrali Multidimensionali.
Sono altresì previste prove di verifica e di autoverifica intermedie erogate in modalità distance learning che riguardano lo svolgimento di test di autoapprendimento.
Sebbene le prove di verifica e di autoverifica intermedie non contribuiscono alla formulazione del giudizio finale e non sono obbligatorie ai fini del sostenimento della prova d’esame, la quale deve essere svolta in presenza dello studente davanti ad apposita Commissione ai sensi dell´art. 11 c.7 lett.e) del DM 270/2004, esse sono da considerarsi altamente consigliate e utili ai fini della preparazione e dello studio individuale. Infatti, la prova finale e le prove di verifica e di autoverifica intermedie consentono nel loro insieme di accertare la capacità di conoscenza e comprensione, la capacità di applicare le competenze acquisite, la capacità di esposizione, la capacità di apprendere e di elaborare soluzioni in autonomia di giudizio.
L’esame si intende superato con il punteggio minimo si 18/30 quando lo studente è in grado di svolgere il primo dei tre esercizi in maniera completa, ovvero la risoluzione con verifica di uno dei Teoremi di Green, Gauss e Stokes e almeno metà di un secondo esercizio sempre su queste tematiche.
 
Per raggiungere il punteggio di 30/30 lo studente dovrà risolvere tutti gli esercizi proposti con una esposizione chiara sia dei calcoli che della teoria necessaria a svolgerli, il tutto con una scrittura che sia quasi priva di cancellazioni e rimandi vari.
Libri di testo

Oltre alle lezioni realizzate dal Docente ed ai materiali didattici pubblicati in piattaforma, è obbligatorio lo studio del seguente testo:

  • “Elementi di analisi matematica 2” Marcellini Paolo, Sbordone Carlo; Liguori Editore.
  • “Esercizi di matematica vol. 2.1, 2.2, 2.3, 2.4.” Marcellini Paolo, Sbordone Carlo; Liguori Editore.
  • “Calcolo Differenziale 2”, Funzioni di più variabili, Robert A. Adams; quarta edizione, Casa Editrice Ambrosiana.

Per coloro i quali intendano approfondire gli argomenti del Corso di Matematica III, si consigliano i seguenti testi di Analisi Matematica II:

  • “Calcolo. Volume terzo, Analisi 2” Apostol Tom; Bollati Boringhieri Editore.
  • “Lezioni di Analisi matematica Volume II” Zwirner Giuseppe; CEDAM Editore.
  • “Esercizi e complementi di Analisi matematica, Vol II” Zwirner Giuseppe; CEDAM Editore.
  • “Analisi matematica volume 2” Giusti Enrico; Bollati Boringhieri Editore.
Ricevimento studenti

Previo appuntamento (f.rinaldi@unimarconi.it)